Al.K Al.K
599
BLOG

TRANSFORMACJA LORENTZA - podstawy

Al.K Al.K Nauka Obserwuj temat Obserwuj notkę 12

MM&AlK

Przedmiotowa notka jest odpowiedzią na komentarze do notki "Inżynier - obalacz STW".

1. Przyznaję, że tytuł notki Inżynier - obalacz STW oraz wstęp poprzedniego wpisu, jest trochę prowokacyjny. Tytuł zaczerpnąłem z notki Eine Pląsawica Sydenhama wokół teorii względności,  o inżynierach obalaczach STW piszących na Salon… Jeden z komentatorów napisał, że nie widzi we mnie obalacza STW… i słusznie – zbyt mocny fundament

2. Zgadzam się w części z Eine w sprawie motywacji.. Ale tylko w części. Nie spotkałem bowiem osoby lubiącej matematykę, aby nie zmierzyła się z dużym twierdzeniem Fermata lub innymi, z grupy twierdzeń tzw. milenijnych... Nie spotkałem osoby lubiącej fizykę, aby nie wracała od czasu do czasu do względności… Oprócz osób kierujących się motywacjami wymienionych przez Eine, w komentarzu do mojej notki i tych wymienionych powyżej, są także inne osoby, które mimo upływających lat, wciąż zadają takie dziecinne pytanie: Dlaczego? I jako dorośli, sami sobie, starają się na tak zadane pytanie odpowiedzieć, wykorzystując zdobytą wiedzę i doświadczenie. Ja w teorii względności zadałem sobie pytanie: Dlaczego, jeśli takie same sygnały będą poruszały się w obu układach (ruchomym i nieruchomym) w postaci fali kulistej z prędkością pieszego, na warunkach określonych transformacją Lorentza, ja nie będę mógł tej prędkości przekroczyć... A mówi mi o tym właśnie transformacja Lorentza…

Jeśli będziemy opierali się (i upierali) tylko na postulacie, że transformacja Lorentza ma dotyczyć tylko przypadku rozchodzenia się kulistej fali świetlnej, to... byłaby błędem, byłaby odmianą paradoksu Zenona XXI wieku a tak nie jest...

2. „To zamiana liter ...”

Wzory należy czytać od początku. Litera V, to prędkość rozchodzenia się kulistej fali dźwiękowej w przestrzeni. Litera c, to prędkość rozchodzenia się kulistej fali  świetlnej. Ja nie zamieniłem fali dźwiękowej na świetlną…

3. Na komentarze mówiące o własnościach światła i dźwięku, o zniekształceniach fali i innych podobnych nie odpowiem, bowiem nie dotyczą poruszonego zagadnienia. Transformacja Lorentza nie ma z tym nic wspólnego. Sama nazwa „transformacja układów”, w sensie matematycznym jest transformacją współrzędnych (w interpretacji geometrycznej, dotyczy: przesunięć, obrotów i odbić zwierciadlanych, układów współrzędnych.). Współrzędne są rzutami punktów czoła fali, na przyjęte osie współrzędnych. Wzory w transformacji Lorentza określają TYLKO współrzędne w przyjętych układach odniesienia, które to układy, np. w teorii Minkowskiego, sprowadzamy do obrotu.

4. „Prędkość światła jest czterowektorem...

Należało „ciągnąć” temat… wracając do starych (bardzo starych) podręczników, do genezy czterowektorów. Nowe podręczniki już tego nie uczą. W współczesnych spotykam głównie „gotowce”: definicja czterowektora, transformacje np. momentu pędu, siły, całe odmiany czterowymiarowej postaci równań Maxwella, tensory itd., itd. Całkowite odcięcie od przeszłości (zbytni balast?).

Tak więc parę zdań o genezie powstania czterowektorów (w najprostszej , elementarnej postaci - mam nadzieję, że w sposób zrozumiały dla gimnazjalisty )...

Wzory transformacji Lorentza, dla układów poruszających się względem siebie ze stałą prędkością V, zapisujemy w postaci:

TRANSFORMACJA LORENTZA - podstawy,

    y = y',      z = z' ,  

 TRANSFORMACJA LORENTZA - podstawy

gdzie:     TRANSFORMACJA LORENTZA - podstawy     i      TRANSFORMACJA LORENTZA - podstawy

Wyrażenia odwrotne otrzymamy bezpośrednio zmieniając V na  -V oraz x, t na x' , t'

Wprowadzając do równań: TRANSFORMACJA LORENTZA - podstawyTRANSFORMACJA LORENTZA - podstawy i mnożąc wielkości w nawiasach przez współczynnik gamma mamy:

TRANSFORMACJA LORENTZA - podstawy,    y = y',   z = z',   TRANSFORMACJA LORENTZA - podstawy

współczynniki przy TRANSFORMACJA LORENTZA - podstawy mają odpowiednio postać:

TRANSFORMACJA LORENTZA - podstawy      i     TRANSFORMACJA LORENTZA - podstawy

Jeśli współczynniki przedstawimy w postaci funkcji trygonometrycznych kąta rzeczywistego, wówczas interpretacja geometryczna jest bardzo zawiła. Składa się z układów przesunięć i obrotów, a relatywistyczne sumowanie prędkości jest praktycznie niemożliwe.

Aby transformacja miała prostszą postać i prostszą interpretację geometryczną, współczynniki przedstawiono w postaci funkcji hiperbolicznych:

TRANSFORMACJA LORENTZA - podstawy  ,        TRANSFORMACJA LORENTZA - podstawy

gdzie: TRANSFORMACJA LORENTZA - podstawy. Parametr  TRANSFORMACJA LORENTZA - podstawy określony jest równaniem:

TRANSFORMACJA LORENTZA - podstawy 

lub    TRANSFORMACJA LORENTZA - podstawy

Równania Lorentza otrzymają postać:

TRANSFORMACJA LORENTZA - podstawy

Wyrażenia odwrotne:

TRANSFORMACJA LORENTZA - podstawy

Wyznacznik powyższych równań wynosi -1 (minus jeden). Transformacja jest co prawda  transformacją złożoną ale zastosowanie parametru hiperbolicznego pozwala na relatywistyczne sumowanie prędkości.

Do w/w równań Minkowski wprowadził zamiast kąta rzeczywistego kąt urojony za pomocą definicji:

TRANSFORMACJA LORENTZA - podstawy   lub   TRANSFORMACJA LORENTZA - podstawy ,  TRANSFORMACJA LORENTZA - podstawy

zachodzą wówczas zależności:

TRANSFORMACJA LORENTZA - podstawy , TRANSFORMACJA LORENTZA - podstawy , TRANSFORMACJA LORENTZA - podstawy ,

TRANSFORMACJA LORENTZA - podstawy ,

 TRANSFORMACJA LORENTZA - podstawy

Równania transformacji Lorentza przyjmują postać:

TRANSFORMACJA LORENTZA - podstawy

Minkowski wprowadził nowe zmienne x1 , … x4  za pomocą definicji:

TRANSFORMACJA LORENTZA - podstawy , TRANSFORMACJA LORENTZA - podstawy , TRANSFORMACJA LORENTZA - podstawy ,  TRANSFORMACJA LORENTZA - podstawy

Mnożąc drugie równanie prze j i wprowadzając nowe zmienne otrzymujemy:

TRANSFORMACJA LORENTZA - podstawy

Wyznacznik równań jest równy jeden. Otrzymany układ równań dotyczy obrotu, płaskiego układu współrzędnych, wokół punktu o kąt urojony. Układ ten jest  szczególnym przypadkiem przekształcenia liniowego w przestrzeni czterowymiarowej.

Z czterech współrzędnych ortogonalnych czasoprzestrzeni, trzy, (x1, x2, x3) są współrzędnymi przestrzennymi i mają wymiar długości. Czwarta współrzędna , ma wymiar odległości. W celu uzyskania symetrii interwału, na czwartej osi odkłada się wielkości urojone …. Dla interwału otrzymujemy wyrażenie:

TRANSFORMACJA LORENTZA - podstawy   TRANSFORMACJA LORENTZA - podstawy

Z uwagi na fakt, iż interwał jest niezmiennikiem w przekształceniach liniowych układu współrzędnych, zdefiniowana przez Minkowskiego odległość, jest niezwykle pomocna w rozumieniu, interpretowaniu i stosowaniu szczególnej teorii względności w szczególności, w odniesieniu do przestrzeni czterowymiarowej, w której wyrażenie:

TRANSFORMACJA LORENTZA - podstawy

jest równaniem powierzchni hiperstożkowej noszącej nazwę stożka świetlnego.

Minkowski opierając się na  geometrii euklidesowej, przyjął, że odległość między dwoma punktami jest niezmiennikiem przy przekształceniach liniowych, tak więc współrzędne w różnych układach odniesienia mogą być różne ale ich odległość pozostaje taka sama (nie zależy od układu odniesienia). W układzie czterowymiarowym odległość ta wyrażana jest w postaci:

TRANSFORMACJA LORENTZA - podstawy      ;     TRANSFORMACJA LORENTZA - podstawy

Tak więc wykonując obrót układu współrzędnych TRANSFORMACJA LORENTZA - podstawy znajdujemy równania Lorentza (które to równania otrzymamy przy założeniu, że interwał jest niezmiennikiem przekształceń liniowych)... Tak doszliśmy do czterowektorów...

To w interwale tkwi odpowiedź na zadane na wstępie notki pytanie: Dlaczego? …

O tym innym razem.

Al.K
O mnie Al.K

Nowości od blogera

Komentarze

Inne tematy w dziale Technologie