MM&AlK
Przedmiotowa notka jest odpowiedzią na komentarze do notki "Inżynier - obalacz STW".
1. Przyznaję, że tytuł notki Inżynier - obalacz STW oraz wstęp poprzedniego wpisu, jest trochę prowokacyjny. Tytuł zaczerpnąłem z notki Eine Pląsawica Sydenhama wokół teorii względności, o inżynierach obalaczach STW piszących na Salon… Jeden z komentatorów napisał, że nie widzi we mnie obalacza STW… i słusznie – zbyt mocny fundament
2. Zgadzam się w części z Eine w sprawie motywacji.. Ale tylko w części. Nie spotkałem bowiem osoby lubiącej matematykę, aby nie zmierzyła się z dużym twierdzeniem Fermata lub innymi, z grupy twierdzeń tzw. milenijnych... Nie spotkałem osoby lubiącej fizykę, aby nie wracała od czasu do czasu do względności… Oprócz osób kierujących się motywacjami wymienionych przez Eine, w komentarzu do mojej notki i tych wymienionych powyżej, są także inne osoby, które mimo upływających lat, wciąż zadają takie dziecinne pytanie: Dlaczego? I jako dorośli, sami sobie, starają się na tak zadane pytanie odpowiedzieć, wykorzystując zdobytą wiedzę i doświadczenie. Ja w teorii względności zadałem sobie pytanie: Dlaczego, jeśli takie same sygnały będą poruszały się w obu układach (ruchomym i nieruchomym) w postaci fali kulistej z prędkością pieszego, na warunkach określonych transformacją Lorentza, ja nie będę mógł tej prędkości przekroczyć... A mówi mi o tym właśnie transformacja Lorentza…
Jeśli będziemy opierali się (i upierali) tylko na postulacie, że transformacja Lorentza ma dotyczyć tylko przypadku rozchodzenia się kulistej fali świetlnej, to... byłaby błędem, byłaby odmianą paradoksu Zenona XXI wieku a tak nie jest...
2. „To zamiana liter ...”
Wzory należy czytać od początku. Litera V, to prędkość rozchodzenia się kulistej fali dźwiękowej w przestrzeni. Litera c, to prędkość rozchodzenia się kulistej fali świetlnej. Ja nie zamieniłem fali dźwiękowej na świetlną…
3. Na komentarze mówiące o własnościach światła i dźwięku, o zniekształceniach fali i innych podobnych nie odpowiem, bowiem nie dotyczą poruszonego zagadnienia. Transformacja Lorentza nie ma z tym nic wspólnego. Sama nazwa „transformacja układów”, w sensie matematycznym jest transformacją współrzędnych (w interpretacji geometrycznej, dotyczy: przesunięć, obrotów i odbić zwierciadlanych, układów współrzędnych.). Współrzędne są rzutami punktów czoła fali, na przyjęte osie współrzędnych. Wzory w transformacji Lorentza określają TYLKO współrzędne w przyjętych układach odniesienia, które to układy, np. w teorii Minkowskiego, sprowadzamy do obrotu.
4. „Prędkość światła jest czterowektorem...”
Należało „ciągnąć” temat… wracając do starych (bardzo starych) podręczników, do genezy czterowektorów. Nowe podręczniki już tego nie uczą. W współczesnych spotykam głównie „gotowce”: definicja czterowektora, transformacje np. momentu pędu, siły, całe odmiany czterowymiarowej postaci równań Maxwella, tensory itd., itd. Całkowite odcięcie od przeszłości (zbytni balast?).
Tak więc parę zdań o genezie powstania czterowektorów (w najprostszej , elementarnej postaci - mam nadzieję, że w sposób zrozumiały dla gimnazjalisty )...
Wzory transformacji Lorentza, dla układów poruszających się względem siebie ze stałą prędkością V, zapisujemy w postaci:
,
y = y', z = z' ,
gdzie: i
Wyrażenia odwrotne otrzymamy bezpośrednio zmieniając V na -V oraz x, t na x' , t'
Wprowadzając do równań: , i mnożąc wielkości w nawiasach przez współczynnik gamma mamy:
, y = y', z = z',
współczynniki przy mają odpowiednio postać:
i
Jeśli współczynniki przedstawimy w postaci funkcji trygonometrycznych kąta rzeczywistego, wówczas interpretacja geometryczna jest bardzo zawiła. Składa się z układów przesunięć i obrotów, a relatywistyczne sumowanie prędkości jest praktycznie niemożliwe.
Aby transformacja miała prostszą postać i prostszą interpretację geometryczną, współczynniki przedstawiono w postaci funkcji hiperbolicznych:
,
gdzie: . Parametr określony jest równaniem:
lub
Równania Lorentza otrzymają postać:
Wyrażenia odwrotne:
Wyznacznik powyższych równań wynosi -1 (minus jeden). Transformacja jest co prawda transformacją złożoną ale zastosowanie parametru hiperbolicznego pozwala na relatywistyczne sumowanie prędkości.
Do w/w równań Minkowski wprowadził zamiast kąta rzeczywistego kąt urojony za pomocą definicji:
lub ,
zachodzą wówczas zależności:
, , ,
,
Równania transformacji Lorentza przyjmują postać:
Minkowski wprowadził nowe zmienne x1 , … x4 za pomocą definicji:
, , ,
Mnożąc drugie równanie prze j i wprowadzając nowe zmienne otrzymujemy:
Wyznacznik równań jest równy jeden. Otrzymany układ równań dotyczy obrotu, płaskiego układu współrzędnych, wokół punktu o kąt urojony. Układ ten jest szczególnym przypadkiem przekształcenia liniowego w przestrzeni czterowymiarowej.
Z czterech współrzędnych ortogonalnych czasoprzestrzeni, trzy, (x1, x2, x3) są współrzędnymi przestrzennymi i mają wymiar długości. Czwarta współrzędna , ma wymiar odległości. W celu uzyskania symetrii interwału, na czwartej osi odkłada się wielkości urojone …. Dla interwału otrzymujemy wyrażenie:
Z uwagi na fakt, iż interwał jest niezmiennikiem w przekształceniach liniowych układu współrzędnych, zdefiniowana przez Minkowskiego odległość, jest niezwykle pomocna w rozumieniu, interpretowaniu i stosowaniu szczególnej teorii względności w szczególności, w odniesieniu do przestrzeni czterowymiarowej, w której wyrażenie:
jest równaniem powierzchni hiperstożkowej noszącej nazwę stożka świetlnego.
Minkowski opierając się na geometrii euklidesowej, przyjął, że odległość między dwoma punktami jest niezmiennikiem przy przekształceniach liniowych, tak więc współrzędne w różnych układach odniesienia mogą być różne ale ich odległość pozostaje taka sama (nie zależy od układu odniesienia). W układzie czterowymiarowym odległość ta wyrażana jest w postaci:
;
Tak więc wykonując obrót układu współrzędnych znajdujemy równania Lorentza (które to równania otrzymamy przy założeniu, że interwał jest niezmiennikiem przekształceń liniowych)... Tak doszliśmy do czterowektorów...
To w interwale tkwi odpowiedź na zadane na wstępie notki pytanie: Dlaczego? …
O tym innym razem.
Komentarze