MM&AlK
Z braku czasu dawno nie byłem na Salonie... Odrabiając zaległości, przeglądając wpisy, trafiłem na notkę Eine Pląsawica Sydenhama wokół teorii względności Nie będę odnosił się do treści i komentarzy i nie chcę generalizować poruszanego zagadnienia… Chcę tylko zwrócić uwagę, że na studia techniczne idą tylko ci, którzy lubią matematykę, fizykę i które to przedmioty stanowią element podstawowy wykształcenia - od fizyki ogólnej do atomistyki, oczywiście z ukierunkowaniem na zagadnienia rozumiane jako techniczne tj. hydromechanika, optyka, elektrotechnika itd. Nie dziwi mnie, że wielu (ja także), w chwilach wolnych, wraca do zagadnień czysto fizycznych, albo dla odprężenia, albo dla pogłębienia wiedzy. Zajmując się praktycznym wykorzystywaniem materiałów wybuchowych muszę znać ich skład chemiczny i własności (a nie jestem chemikiem), muszę określić zakres działania fali sejsmicznej i jej wpływ budowle, zakres działania fal detonacyjnych i uderzeniowych przemieszczających się w powietrzu, z uwagi na bezpieczeństwo budowli i ludzi (a nie jestem fizykiem)... Jak fizyk lubi "pogrzebać" w samochodzie i jeszcze chciałby go „dopalić”, to nie mówimy, że nie wolno fizykowi „grzebać” przy silniku – jak zepsuje to i tak mechanik naprawi... Ale... jest fizykiem zna podstawy i może próbować skonstruować rakietę…
Aby być na bieżąco w temacie poruszonym w notce, moje „trzy grosze” na temat STW...
Podstawowy postulat teorii STW mówi, że prędkość światła jest prędkością absolutną i żaden sygnał nie może poruszać się z prędkością większą (tak najogólniej)… Jako dowód potwierdzający powyższy postulat przedstawia się transformację Lorentza. W notce Względność obserwacji, przedstawiłem takie drobne uwagi dotyczące transformacji… Teraz ta uwaga zasadnicza…
Z fizyki wiemy, że światło i dźwięk, rozchodzą się na wszystkie strony w postaci fali kulistej, opisanej ogólnym równaniem fali przestrzennej:
gdzie Ψ jest wielkością podlegającą równaniu różniczkowemu
Fakt powyższy jest przyczynkiem do wyprowadzenia transformacji Lorentza przy założeniu, że układ X'Y'Z' porusza się ruchem jednostajnym w kierunku osi X, z prędkością v względem układu XYZ. Osie X i X' schodzą się ze sobą, a w chwili, gdy początek układu 0' schodzi się z punktem 0 obserwatorzy, każdy w początku swojego układu, zamiast błysku świetlnego, detonuje ładunek wybuchowy. Tak więc z początku obu układów rozchodzą się dźwiękowe fale kuliste, z prędkością V - dla każdego z obserwatorów. Dla obserwatora w układzie XYZ możemy zapisać równanie:
(1) x2 + y2 +z2 = V2 t2
(promień kuli R = Vt rośnie liniowo z czasem)
Dla obserwatora w układzie X'Y'Z' możemy napisać równanie:
(2) x' 2 + y' 2 + z' 2 = V 2t' 2
Układy powyższe są układami Galileusza, zatem związek między współrzędnymi i czasami obu układów musi być liniowy.
Ponieważ płaszczyzna Y'0'Z' w układzie ruchomym ma równanie x' = 0, a w układzie nieruchomym porusza się z prędkością v, zatem jej równanie w układzie nieruchomym będzie:
x – vt = 0
Między współrzędnymi dowolnego punktu x i x' oraz y i y', z i z' zachodzi zatem związek:
x' = k(x – vt), y' = y, z' = z
Związek między czasami także ma być liniowy, zatem:
t' = Ax + Bt
Podstawiając wartości na x', y', z', t' do równania (2), równanie powinno przejść w równanie (1). Musi być zatem tożsamość:
k2(x – vt)2 + y2 + z2 – V2(Ax + Bt)2 = x2 + y2 + z2 - V2t2
Po uporządkowaniu:
(k2 – 1 – A2V2)x2 – 2(k2v + ABV2)xt +(k2v2 – B2V2 + V2)t2 = 0
Ponieważ tożsamość musi zachodzić dla dowolnych wartości x i t wobec czego, wszystkie współczynniki przy zmiennych muszą się równać zeru. Stąd:
k2– 1 – A2V2 = 0,
k2v + ABV2 = 0,
k2v2 – B2V2 + V2 = 0
lub inaczej:
(3) k2– 1 = A2V2 ,
(4) - k2v = ABV2 ,
(5) k2v2 + V2 = B2V2
Mnożąc pierwsze, z trzech w/w równań, przez trzecie mamy:
(6) (k2 -1)(k2v2 + V2) = A2B2V4
Podnosząc drugie równanie do potęgi drugiej:
(7) k4v2 = A2 B2 V4
Z równania (6) i (7) mamy:
(k2 -1)(k2v2 + V2) = k4v2
Po wykonaniu działań otrzymamy:
Z równania (3) otrzymujemy:
Z równania (5) otrzymujemy:
Ponieważ z równania (4) mamy:
AB = - k2(v/c2)
Zatem A i B muszą mieć znaki przeciwne. Współczynnik B musi być dodatni bowiem wzrastaniu czasu w jednym układzie musi odpowiadać wzrastanie czasu w drugim układzie. Tak więc:
, ,
Ostatecznie mamy:
, y' = y, z' = z,
Rozwiązując powyższe równania względem x i t otrzymujemy:
(8) (9)
Dodawanie prędkości.
Na początku rozważań przyjęliśmy, że prędkość v jest prędkością układu ruchomego względem układu nieruchomego. Przyjmijmy zatem, że prędkość v' jest prędkością punktu w układzie ruchomym dla której zachodzi zależność:
v' = x'/t'
Prędkość tego punktu względem układu nieruchomego będzie:
u = x/t
Tak więc dzieląc równanie (8) przez równanie (9) mamy:
Dzieląc prawostronnie licznik i mianownik przez t' otrzymujemy:
Z powyższego wynika, że prędkości dźwięku nie można przekroczyć…. Ale inżynierowie skonstruowali samoloty, które nic sobie nie robią z wzorów transformacyjnych i przekraczają prędkość dźwięku…. Zatem przez analogię można przekraczać prędkość światła… wszak zjawisko Dopplera, wykorzystywane w astrofizyce, jest nieodłączne związane z rozchodzeniem się dźwięku i ruchem jego źródła.
Jest sprawą oczywistą, że rozpatrując błysk światła rozchodzący się w postaci fali kulistej z prędkością c, wystarczy wstawić do w/w wzorów transformacyjnych, zamiast prędkości dźwięku V, prędkość światła c i otrzymamy znane podręcznikowe przekształcenia transformacji Lorentza dowodzące, że prędkości światła nie można przekroczyć. (patrz np. Jarosław Jeżewski Fizyka, 27.3 Transformacje Lorentza, str. 621-624, 27.6 Dodawanie prędkości, str. 626).
Czy pisząc jw. chcę obalić STW? … Bez przesady… Transformacja Lorentza jest prawidłowością w przestrzeni dwuwymiarowej. Tak więc STW będzie zawsze, w określonym zakresie, słuszne i potwierdzone doświadczalnie. Dlaczego zatem nie można według w/w wzorów przekroczyć prędkości dźwięku i światła? O tym w następnej notce...
P.S.
Przepraszam jeśli odpowiem z opóźnieniem... Ale to wina czasu - zbyt często podlega zjawisku skracania...
Komentarze