Pitagoras

MM&AlK

 

Notka niniejsza jest powtórzeniem skasowanej (przez przypadek) notki A jednak Pitagoras (1). Pozwoliłem sobie na jej powtórkę (drobne dopiski w kolorze niebieskim) z uwagi na przygotowywaną notkę, w której jestem zmuszony odwołać się dodoświadczenia Pitagorasa.

...

W czasach współczesnych nie wypada pisać i mówić o tym, że zarówno Mikołaj Kopernik, jak i Johannes Kepler oraz Isaac Newton, głosząc poglądy na budowę Układu Słonecznego, powoływali się na poglądy starożytnych. Mikołaj Kopernik w dziele O obrotach ciał niebieskich, poprzez słowa Plutarcha (filozofa i kronikarza żyjącego w latach (50–125) odwołał się w sprawie ruchu obrotowego i obiegowego Ziemi do pitagorejczyków, tj. do Filolaosa, Ekfantosa oraz Heraklejdesa z Pontu.

Pogląd Newtona, że prawo odwrotności kwadratów to część wiedzy pitagorejskiej, w czasach współczesnych jest herezją. Należy podkreślić, że Newton stanowczo podkreślał, iż to Pitagoras z Samos odkrył w harmonijnie drgających strunach prawo odwrotności kwadratów, po czym odniósł otrzymane wyniki do poszczególnych planet i ich odległości od Słońca. Newton, odwołując się do świadectwa Makrobiusza, przyjął, że eksperymenty Pitagorasa polegające na napinaniu baranich jelit, ścięgien wołowych i przyczepianiu do nich różnych ciężarków, to nic innego jak poznawanie harmonii kosmosu. Proporcje odkryte podczas tych eksperymentów odniósł Pitagoras do ciał niebieskich.

Eksperymenty Pitagorasa polegające na obserwacji zmian baranich jelit, pod wpływem obciążenia, jest ciągle tematem dowcipnych anegdot i komentarzy. Mają one uzmysłowić słuchaczom, jakimi to metodami w dawnych czasach, starano się poznawać tajemnice Wszechświata. Doświadczenie Pitagorasa wydaje się rzeczywiście w swej prostocie mało istotne, banalne, zabawne, wręcz groteskowe... Czy rzeczywiście?

Aby zrozumieć doświadczenie Pitagorasa i myślicieli starożytnych należy zapomnieć (tak nakazywał Newton) o jednostkach miar w naszym współczesnym rozumieniu. Należy zapomnieć o współczesnych, czy też dawnych, jednostkach długości (centymetrach, metrach, calach, milach, łokciach itp). Miarą odcinka jest inny, dowolny odcinek. Miarą różnych odcinków należących do danego zbioru, może być dowolny odcinek z tego zbioru lub inny odcinek, nie należący do tego zbioru. Podobnie miarą okręgu jest inny okrąg (mniejszy lub większy); sześcianu inny sześcian ... itd.

Wraz z rozwojem rachunku numerycznego wmówiono, że istnieją dwa kosze odcinków. W pierwszym koszu, tym najważniejszym, są same odcinki „mianowane” (wzorce), w drugim koszu wszystkie inne... Te „mianowane” są do etykietowania odcinków w drugim koszu – co ma usprawnić opisanie wzajemnych zależności między odcinkami... Totalne nieporozumienie... Odcinki w drugim koszu wcale nie potrzebują odcinków mianowanych. Obecnie, w dobie komputerów, kalkulatorów są same etykiety. Działania wykonuje się na nazwach – pilnując tylko, by określone wielkości miały taką samą nazwę. Zapomina się całkowicie, że za nazwą (za „mianem”): centymetr, metr, kilometr itd. ukrywa się konkretny odcinek.

Zgodnie z filozofią pitagorejską każdy „byt” ma swoją miarę. Powtórzmy zatem doświadczenie Pitagorasa...

W doświadczeniu przyjmiemy, że:

1. mamy dowolną strunę sprężystą (może to być zwykła gumka w kształcie walca), o długości L i promieniu r, podwieszoną swobodnie np. na stojaku (pod sufitem itp.);

2. strunę obciążamy; struna wydłuża się, jej długość wynosi L₁ i maleje jej przekrój (maleje promień struny, przyjmując wartość r₁);

3. objętość struny przed obciążeniem i po obciążeniu nie zmienia się (jest stała);

4. promień struny zgodnie z pitagorejską filozofią „bytu” jest miarą (odcinkiem jednostkowym) jej przekroju (pola), długości i objętości.

Przyjmując, że objętość struny V przed obciążeniem i po obciążeniu V₁ nie zmienia się : V = V₁ otrzymujemy zależność:

    

stąd:

Możemy zatem powiedzieć, że: długości strun (przed obciążeniem i po obciążeniu) są odwrotnie proporcjonalne do kwadratów swych promieni.

Czy zapis ten był pierwowzorem i inspiracją słynnych twierdzeń Keplera i Newtona? Odpowiadając na tak zadane pytania, analizujmy kolejno wzory – w sposób możliwie najprostszy:

Przyjmując, że długości strun są wielokrotnościami swych promieni (miar):

L_n = r_n N_n  ;  r_n = L_n / N_n

wówczas:

czyli :

Sześcian długości struny do kwadratu wielokrotności jej promienia (przed obciążeniem i po obciążeniu) jest stały.

Otrzymamy również zależność:

p r_n³N_n = V_n

określającą zasadę budowy kolum z modułów, w których wysokość modułu jest równa promieniowi. Zasadę tą stosowano w starożytności - przyjmowano wysokość modułu równą promieniowi lub średnicy kolumny. 

Wzór postaci:  4/3 p r_n³ N_n = constans

to pogląd Arystotelesa głoszący, że ciała kosmiczne krążą wiecznie po okręgach za sprawą przezroczystych sfer, które otaczają Ziemię i niosą pozostałe planety. Zatem... Czy pogląd Arystotelesa  ma swoje pierwotne źródło w doświadczeniu Pitagorasa?

Łatwo możemy zauważyć, że pitagorejskie prawo strun można odnieść do zależności istniejących w Układzie Słonecznym a więc do trzeciego prawa Keplera mówiącego, że stosunek sześcianu średniej arytmetycznej największego i najmniejszego oddalenia R planety od Słońca do kwadratu N obiegu planety wokół Słońca, jest stały dla wszystkich planet układu słonecznego. Inaczej mówiąc trzecie prawo Keplera jest własnością przestrzeni.

Zależność możemy zapisać w postaci:

po przekształceniu:

Przy niniejszej notce padł zarzut, że „sztuczką”, zabiegiem matematycznym zamieniłem proporcjonalność z wprost na odwrotną. Myślę, że czytelnicy, którzy zapoznali się z notką Tales i astronomia... oraz Arystoteles i astronomia... zauważyli, iż postać wzoru trzeciego prawa Keplera zależy od przyjętego wzorca– sens wzoru pozostaje ten sam. Trzecie prawo Keplera zawiązane jest z własnością przestrzeni.

W przypadku doświadczenia Pitagorasa miarą objętości struny może być zarówno długość struny, jak i jej promień. Bez względu na to co przyjmiemy jako miarę, nie będzie to miało wpływu na objętość struny.